einzige einfache Gruppe |G|=60 < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei $G$ eine einfache Gruppe der Ordnung 60. Zeigen Sie, dass durch Konjugation der fünf 2-Sylowgruppen ein Gruppenhomomorphismus
[mm] $\phi [/mm] : G [mm] \mapsto S_{5}$ [/mm] definiert wird, der einen Isomorphismus $G [mm] \cong A_{5}$ [/mm] induziert. |
Ich habe diese Frage sonst nirgends gestellt.
Okay das bedeutet ja gerade, dass [mm] $A_{5}$ [/mm] die einzige einfache Gruppe der Ordnung 60 ist (bis auf Isomorphie natürlich).
Seien also P1..P5 die 2-Sylowgruppen von G.
Die Konjugation ist ja eine Operation von G auf der Menge der 2-Sylowgruppe, daraus ergibt sich doch folgende Abbildung:
[mm] $\phi(g) [/mm] := [mm] \sigma \in S_{5} [/mm] \ \ \ mit\ \ \ [mm] \sigma(P1) [/mm] = [mm] gP1g^{-1} [/mm] \ [mm] \, [/mm] \ [mm] ...\, [/mm] \ \ [mm] \sigma(P5) [/mm] = [mm] gP5g^{-1}$
[/mm]
Warum ist [mm] $\phi$ [/mm] wohldefiniert? Warum kann [mm] $gPig^{-1}$ [/mm] nie gleich [mm] $gPjg^{-1}$ [/mm] sein für [mm] $i\neq [/mm] j$?
Wie induziert [mm] $\phi$ [/mm] einen Isomorphismus?
Danke für Eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:08 Di 10.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei [mm]G[/mm] eine einfache Gruppe der Ordnung 60. Zeigen Sie, dass
> durch Konjugation der fünf 2-Sylowgruppen ein
> Gruppenhomomorphismus
> [mm]\phi : G \mapsto S_{5}[/mm] definiert wird, der einen
> Isomorphismus [mm]G \cong A_{5}[/mm] induziert.
> Ich habe diese Frage sonst nirgends gestellt.
>
> Okay das bedeutet ja gerade, dass [mm]A_{5}[/mm] die einzige
> einfache Gruppe der Ordnung 60 ist (bis auf Isomorphie
> natürlich).
>
> Seien also P1..P5 die 2-Sylowgruppen von G.
>
> Die Konjugation ist ja eine Operation von G auf der Menge
> der 2-Sylowgruppe, daraus ergibt sich doch folgende
> Abbildung:
> [mm]\phi(g) := \sigma \in S_{5} \ \ \ mit\ \ \ \sigma(P1) = gP1g^{-1} \ \, \ ...\, \ \ \sigma(P5) = gP5g^{-1}[/mm]
>
> Warum ist [mm]\phi[/mm] wohldefiniert? Warum kann [mm]gPig^{-1}[/mm] nie
> gleich [mm]gPjg^{-1}[/mm] sein für [mm]i\neq j[/mm]?
Weil $g [mm] P_i g^{-1} [/mm] = g [mm] P_j g^{-1} \Leftrightarrow g^{-1} [/mm] g [mm] P_i g^{-1} [/mm] g = [mm] g^{-1} [/mm] g [mm] P_j g^{-1} [/mm] g [mm] \Leftrightarrow [/mm] e [mm] P_i [/mm] e = e [mm] P_j [/mm] e [mm] \Leftrigtarrow P_i [/mm] = [mm] P_j$ [/mm] gilt. Damit definiert [mm] $\phi$ [/mm] zuminest eine Abbildung $G [mm] \to S_5$.
[/mm]
Dass diese ein Gruppenhomomorphismus ist musst du noch zeigen, das ist aber auch nicht schwer.
> Wie induziert [mm]\phi[/mm] einen Isomorphismus?
Du hast erstmal einen Gruppenhomomorphimus [mm] $\phi [/mm] : G [mm] \to S_5$. [/mm] Da $G$ einfach ist muss der Kern entweder [mm] $\{ e \}$ [/mm] oder $G$ sein. Wenn der Kern $G$ waere, wuerde es nach den Sylow-Saetzen genau eine 2-Sylowgruppe geben, was aber nicht der Fall ist: also ist [mm] $\phi$ [/mm] injektiv.
Damit ist [mm] $\phi(G) \subseteq S_5$ [/mm] eine Untergruppe der Ordnung [mm] $|\phi(G)| [/mm] = |G| = 60$, und [mm] $S_5$ [/mm] hat $5! = 60 [mm] \cdot [/mm] 2$ Elemente. Eine Unterguppe der Ordnung vom Index 2 ist immer ein Normalteiler, und der einzige Normalteiler von [mm] $S_5$ [/mm] (der nicht [mm] $\{ id \}$ [/mm] bzw. [mm] $S_5$ [/mm] ist) ist [mm] $A_5$: [/mm] also muss [mm] $\phi(G) [/mm] = [mm] A_5$ [/mm] sein und somit [mm] $\phi$ [/mm] einen Isomorphismus $G [mm] \cong A_5$ [/mm] induzieren.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Di 10.11.2009 | | Autor: | kunzmaniac |
Vielen Dank,
Die Argumentation ist wirklich sehr verständlich, faszinierend wie man da so schnell drauf kommen kann!
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